LIÇÃO Nº 5

Como já dissemos, os sistemas numéricos foram sendo expandidos sucessivamente, à medida que se constatavam as suas insuficências. Expandir significa que o sistema expandido em cada etapa, engloba todos os sistemas anteriores. O sistema de números reais é considerado o sistema final, aquele onde foram atendidas todas as insuficiências. No entanto, para os matemáticos, o sistema realmente completo é o representado pelos números complexos, apesar de estes não resultarem da expansão dos números reais. Porém, não quero antecipar-me tratando agora deste assunto, que deve aguardar a sua oportunidade.

Os números reais incluem os números irracionais, que são de “natureza” diferente dos anteriores. Estes, ou seja, os números racionais, são ilimitados, não existe número que seja o maior de todos. São seqüências ordenadas sem fim, não terminam nunca. Por isso, são chamados de infinitos. Só que esse infinito nunca é alcançado. Com os números irracionais não é assim, têm um limite, um valor, que não é ultrapassado. Além disso, esse valor só é atingido quando o número irracional for infinito, o que parece um paradoxo. O que acontece, é que o número irracional pode ser obtido por uma série convergente, isto é, por uma somatória infinita de termos, que se completa em um determinado valor quando atinge o infinito. Por esse motivo, Konrad Knopp, matemático alemão, fez o seguinte comentário em Infinite Sequences and Series, Ed. Dover Publications Inc. N. Y. , 1956 : “A designação ‘soma’ usada habitualmente para o valor de s é, apesar de tudo, infeliz. Porque s não é uma soma, mas na verdade o limite de uma seqüência de somas, especificamente, a seqüência de somas parciais de séries. Isto é especialmente enganador, pois leva a crer que se pode operar com séries infinitas exatamente como se fossem somas ordinárias, ou seja, como somas tendo um determinado número finito de termos.” Esta característica dos números irracionais fica bem evidente na representação desses números na forma de frações contínuas. A fração contínua consiste na soma de um número com uma fração, onde esta por sua vez, é também a soma de um número com uma fração e assim sucessivamente, ad infinitum. Assim, a 2 tem a seguinte expressão :

1

2 = 1+ -------------------------

1

2 + ------------------

1

2 + ------------

2 + ...

Agora se nesta fração contínua, separarmos as frações parciais a partir do número 1 para a direita, considerando, sucessivamente, somente a parte até cada número 2 , os valores obtidos formam a seguinte seqüência de valores :

1/1, 3/2, 7/5, 17/12, ... , onde cada denominador é a soma do numerador com o denominador da fração anterior e o numerador, por sua vez, é a soma do seu denominador com o denominador da fração anterior. Esta seqüência de números racionais, apresenta uma característica muito interessante, os seus valores são, alternadamente, menores e maiores do que 2. Assim, a seqüência em questão é a “combinação” de duas seqüências convergentes, que podem perfeitamente ser consideradas em separado, uma da outra. A observação importante a fazer, é que esses valores parciais são meras aproximações, visto que não representam o número irracional 2 que é infinito.

Porém, como já dissemos, os números racionais e os números irracionais fazem, ambos, parte do sistema de números reais. Além disso, todos os números dessas duas categorias, podem ser representados por pontos de um eixo numérico, onde, como também já dissemos, são entidades geométricas adimensionais, o que pressupõe a continuidade no eixo numérico. Tratando-se de sistemas ordenados, Richard Dedekind, (1831-1916), matemático alemão, tomando por base os conceitos acima, definiu que a continuidade numérica estava garantida, quando fosse possível realizar um corte separando os números em duas classes, onde qualquer número de uma das classes estaria “posicionado” em relação a qualquer número da outra classe. A continuidade existiria se e somente se, no corte, uma classe estivesse “aberta” e a outra “fechada”. Quer dizer, considerando da esquerda para a direita, a classe da esquerda não teria o último elemento, ao passo que a classe da direita teria o primeiro elemento ou vice-versa. Esta definição corresponde exatamente ao caso das duas seqüências de 2, onde tanto uma como outra se enquadram nas condições exigidas pelo corte. Se considerarmos agora no sistema de números reais, somente os números racionais, verificamos que as condições de corte não se apresentam, por existirem intervalos que são preenchidos pelos números irracionais. Em resumo, o sistema de números reais engloba dois tipos de corte, o dos números racionais e o dos números irracionais. O primeiro, em que a unidade de medição se repete indefinidamente, estabelecendo uma correspondência uma-a-uma, similar e isomórfica, entre os números racionais e os números naturais e o segundo, em que a unidade de divisão evolui, convergindo para o valor limite do número irracional onde se dá o corte. Quanto aos números racionais decorrentes das interrupções no valor infinito do número irracional, eles não correspondem a nenhum corte, são apenas aproximações sucessivas a esse valor.

Vejamos um exemplo muito simples da distinção entre séries finitas e infinitas. Consideremos a série finita 1 – 1 + 1 – 1... +- 1 e que inserimos parenteses agrupando os seus números dois a dois (1 – 1) + ( 1 – 1) + ( 1 – 1 ) + ... . Se o número de elementos for par a soma será 0 , se for ímpar será 1, independentemente da ordem com que os pares podem ser agrupados. Ou seja, a série finita tem a propriedade associativa da soma. Admitamos agora que a mesma série é infinita. Se ao pares forem agrupados ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) + ... o resultado da soma será 0, mas se forem agrupados 1 – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – ... o resultado da soma será 1, o que mostra que a propriedade associativa não se aplica neste caso.

Bem, fico por aqui. Até a próxima LIÇÃO.