LIÇÃO Nº 4

Voltemos aos números e à sua evolução. Vimos como eles se expandem à medida que revelam as suas insuficiências no atendimento às quatro operações aritmétricas. Dos números naturais passamos aos números inteiros positivos, e juntando a estes o zero, os números inteiros negativos e os números fracionários, obtivemos os números racionais. Também mostramos como os números racionais se “camuflam”, assumindo formas infinitas de dízimas periódicas, sem perder a sua natureza. O sistema dos números racionais, tal como o dos números naturais e o dos números inteiros, é um sistema ordenado, quer dizer, dados dois números do sistema, pode-se sempre afirmar que um em relação ao outro, ou é maior ou é menor. Entre dois números naturais consecutivos não se pode inserir um outro número natural, isto é, os números naturais têm uma seqüência numérica única e definitiva. Os números racionais têm uma estrutura diferente, entre dois múmeros racionais sempre existe um outro número racional. Por isso, diz-se que este sistema tem uma estrutura específica diferente, ela é “densa”. Por sua vez, o sistema de números racionais também teve que ser expandido, para absorver os números irracionais, que se dividem em números algébricos e números transcendentes. Algébricos quando satisfazem equações algébricas com coeficientes racionais e transcendentes caso contrário. Estes últimos são números isolados, infinitos e não-periódicos, que representam grandezas numéricas. Apesar da distribuição dos números racionais ser densa, há, na verdade, muito mais números irracionais que racionais. Se juntarmos os números irracionais aos racionais, formamos o sistema dos números reais. Este sistema é muito diferente dos anteriores que lidam apenas com números inteiros, ao passo que os números reais incluem todos os números infinitos não-periódicos. Consideremos uma linha reta horizontal e marquemos nela, aleatoriamente, um ponto, que definimos como sendo o O. Do lado direito e a uma distância, também aleatória, do ponto O, marquemos outro ponto, que definimos como sendo o 1. Temos assim um eixo numérico, onde com estes dados, podemos distribuir na linha reta, todos os números. O eixo numérico é uma representação interessante, uma visualização das classes de números, que ajuda a compreender as suas naturezas. Admitamos os números naturais, aos quais adicionamos o O. A seqüência dos números naturais vai-se desenvolvendo a partir do O para a direita, de uma forma contínua e ilimitada. Eles têm um começo, o zero, mas não têm fim, do lado direito, vão até ao infinito. Para entender os números naturais, é preciso conhecer os axiomas de Giuseppe Peano. (1858-1932), matemático italiano, que foi quem definiu as propriedades desses números :

1. O zero é um número.

2. Qualquer número natural ou o zero, a , tem um sucessor imediato. a + 1.

3. O zero não é sucessor de nenhum número natural.

4. Não existem dois números com o mesmo sucessor imediato.

5. Qualquer propriedade que seja do zero e também do sucessor imediato de qualquer número natural, é uma propriedade de todos os números naturais.

O último axioma é chamado de axioma da indução, por ser o que permite afirmar que os números naturais prosseguem indefinidamente. Realmente, os números naturais desenvolvem-se repetindo continuadamente um único passo, o do axioma 2. Isto é, ao avançar de um número, o conjunto volta exatamente à mesma condição anterior, o que permite induzir que a sua repetição é contínua e ad infinitum. Já vimos que é possível realizar a correspondência biunívoca dos elementos do conjunto dos números cardinais sobre os elementos do conjunto dos números naturais, ou seja, o número cardinal n , resulta da bijeção de um conjunto enumerável e finito sobre o subconjunto 1, 2, 3, ..., n dos números naturais. Os números cardinais representam, portanto, um número infinito de conjuntos finitos ordenados, quer dizer, conjuntos cujas seqüências obedecem a uma lei de formação, o axioma 2 de Peano. Assim se a e b forem dois números quaisquer, eles devem satisfazer uma e só uma das seguintes relações a < b , a = b , a > b . É claro que no caso dos números cardinais, esta lei fundamental da aritmética só se verifica para as desigualdades, pois a igualdade fica restrita à identidade a = a , visto que dois números cardinais nunca podem ser iguais. Além disso, apesar de ocorrerem referências a “infinidades”, não significa que nos números cardinais, o infinito esteja envolvido. Talvez teria sido melhor dizer que os números cardinais são ilimitados e não em número infinito. De fato, por maior que seja o número cardinal considerado, a sua posição não se altera na seqüência ilimitada dos números, não fica nem mais próximo nem mais afastado do ilimitado, pois não existe algo que possa qualificar-se como “infinito”. Não obstante Cantor, de quem já falei, mostrou que os números reais são inumeráveis, isto é, não é possível contá-los, mas apesar disso, podem ser agrupados em conjuntos eqüipotentes, representados pelo mesmo número cardinal. São os chamados números transfinitos. Vejamos por quê. Consideremos o eixo numérico conforme apresentado. Por meio de régua e compasso, tracemos uma reta perpendicular ao eixo passando pelo ponto 1. Marquemos nessa reta um outro ponto, tendo a mesma distância que o ponto 0 tem do ponto 1. Liguemos o novo ponto ao ponto 0 por uma reta. Obtemos assim, a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados adjacentes iguais, cujo valor é a raiz quadrada de 2, um número irracional. Com o compasso centrado no ponto 0 e com a abertura da hipotenusa, podemos marcar no eixo numérico esse número infinito. De modo análogo podemos proceder em relação ao número p , ou seja, obter no eixo numérico o ponto correspondente ao seu valor. Aliás, isso já foi feito, quando dissemos que a curva circular é retificável, quer dizer, obtém-se o ponto marcando, no eixo, o perímetro de um círculo cujo diâmetro é considerado a unidade de medição. O que significam estes procedimentos ? Será que um número infinito, pode ter um ponto como sua representação no eixo numérico ? Sendo o infinito inantigível, como pode um número infinito ter um ponto como sua “imagem” ? Para responder a estas questões, é preciso definir os conceitos de limite e de continuidade.

Fico por aqui. Até à próxima LIÇÃO