Mathmodern

2008-01-13T08:22:00.000-08:00

LIÇÃO Nº 6

Por vezes a matemática oferece toques de mistério, algo que nos envolve e nos deixa sem explicação. Vejamos um desses momentos de encantamento. Em 1202, Leonardo di Pisa ou Fibonacci, (“filho de Bonaccis”), (1170-c.1250), mercador e matemático italiano, publicou um livro, o Liber abaci, (“Livro do ábaco”), onde apresentou uma seqüência de números que depois ficou famosa 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .Cada número da seqüência, a partir do terceiro, é obtido somando os dois números anteriores. Fibonacci apresentou a seqüência com um exemplo apenas curioso, o da reprodução de um casal de coelhos. Somente em 1753 é que Robert Simson da Universidade de Glasgow, mostrou que dividindo cada número da seqüência pelo seu antecessor, resultava uma série que convergia para um número infinito 1,61803 ... Este número irracional foi depois denominado número áureo, seção áurea, ou corte de ouro, pelas suas propriedades “mágicas”, algo indefinido na sua proporção que mexe com a nossa sensibilidade artística. Se dividirmos o lado maior de um retângulo, de tal modo que os dois segmentos resultantes tenham uma relação de 1,61803 ... , estamos realizando o corte de ouro e essa divisão dá-nos uma sensação especial, de beleza. O ponto de corte divide o lado em dois segmentos, de tal modo, que a parte maior é a média proporcional entre o lado e a parte menor, quer dizer, se o lado for igual a 1, temos que 1/ x = x / 1 – x , ou seja, x é a raiz de uma equação do 2° grau. Essa raiz é portanto a expressão algébrica do número áureo e baseia-se no número irracional 5 , tendo uma representação simples em fração contínua :

Esta fração contínua tem a mesma característica já mostrada para a 2, em que as frações obtidas pelas parcializações sucessivas, apresentam valores alternadamente maiores e menores que o número áureo. Quer dizer, a fração contínua é a combinação de duas seqüências, que convergem para o mesmo número irracional infinito, o número áureo. Assim, pode-se também dizer que se trata de um par de classes, uma minorante e a outra majorante, em que o número áureo é, respectivamente, o limite inferior da primeira e o limite superior da segunda.

Marcelo Gleiser, físico brasileiro, a quem admiro pelo empenho em divulgar o conhecimento científico, escreveu certa vez, no caderno “Mais” da Folha de S. Paulo, um breve comentário intitulado A Matemática da beleza, onde aborda a seção áurea. Conchas de caracóis, galáxias. furacões, chifres de bode e a curva do lábio superior do nosso rosto são citados como exemplos, sem esquecer, é claro, o quadro mais famoso do mundo, a Mona Lisa de Leonardo da Vinci, onde o artista aproveitou ao máximo as vantagens da proporção divina.

Vamos aproveitar este tema para abordar mais algumas propriedades dos números reais. Consideremos um eixo numérico e nele o ponto limite de uma convergência. Como esse ponto limite aparece no eixo numérico ? Ele é representado, na seqüência de pontos, como um ponto de acumulação, isto é, um ponto tal que qualquer intervalo, por menor que seja, contém, na sua vizinhança, um número infinito de termos da seqüência. Um ponto limite é sempre um ponto de acumulação, mas o inverso não é verdadeiro.

A definição de limite das séries infinitas, leva-nos a defrontar novamente os conceitos fundamentais do conhecimento matemático. De fato, dizer que um intervalo contém um número infinito de pontos, é cair em contradição, visto que o infinito não é nenhum número, não significando uma quantidade a ser medida. O infinito por maior que seja o número de termos da seqüência, não pode ser alcançado, pois a distância de qualquer termo ao infinito mantém-se inálterada. Poder-se-ia recorrer a Aristóteles que afirmou, há mais de 2.300 anos, que os matemáticos precisavam que o infinito existisse, não para utilizá-lo, mas como infinito potencial. Mesmo assim, não podemos garantir que a contradição estaria eliminada, tanto mais que o limite seria um valor a ser atingido com a soma dos termos da seqüência infinita. Esta questão foi finalmente resolvida por Augustin Louis Cauchy, (1789-1857), matemático francês. Cauchy reformulou o conceito de limite de uma série infinita, como sendo um valor tal, que os números da seqüência da série diferem cada vez menos, entre si, à medida que se avança nos termos da seqüência. Deste princípio de convergência resulta que as séries convergentes formam seqüências nulas, isto é, seqüências que convergem para O. Esta reformulação retira qualquer referência ao infinito e trata o limite como sendo uma questão de divisibilidade de um intervalo, onde a unidade de divisão torna-se cada vez menor, convergindo para O ao atingir o seu ponto extremo.

Suponhamos uma seqüência representada nos seus termos pela notação genérica {c_n}. Utilizando esta seqüência, podemos obter uma nova seqüência {s_n}, fazendo corresponder um-a-um os temos das duas seqüências. Assim, teremos s_o = c_o s₁ = c₀+ c₁ s₂ = c₀ + c₁ + c₂ tendo como termo genérico s_n = c_o + c₁ + c₂ + ... + c_n onde n = 0, 1, 2, ... . Pois bem, à primeira seqüência corresponde, portanto, uma outra seqüência {s_n}, mas agora com uma configuração diferente, que a classifica como uma série infinita. Esta maneira indireta de apresentar uma série infinita, parece uma complicação desnecessária, mas na verdade nenhum matemático que se preze a dispensaria. De fato, a condição prévia para que ocorra uma série infinita, é que exista uma seqüência que lhe forneça a regra básica da sua formação. Quer dizer, a série infinita resulta de uma seqüência e é justamente isso que a definição indireta proporciona.

A característica fundamental do pensamento matemático, é a de obedecer a uma lógica própria. Essa obediência rigorosa a uma estrutura de proposições, é que confere a legitimidade ao raciocínio matemático. A lógica tradicional, ainda hoje utilizada, vem da tradição aristotélica e a figura mais conhecida é o silogismo. Composto por três proposições, o silogismo é um raciocínio dedutivo, onde duas premissas, a maior e a menor, têm entre si uma relação dedutiva, da qual pode-se obter uma terceira proposição, a conclusão. Voltemos ao modo indireto de definir uma série infinita. Muito embora não se demonstre, a definição do modo indireto de uma série infinita, é sem dúvida, construida com a estrutura de um silogismo, o que prova o quanto a lógica é fundamental para o raciocínio matemático. A lógica é o fundamento do conhecimento, o meio pelo qual interpretamos e descrevemos o mundo É realmente espantoso que há mais de 2.000 anos, os gregos da Antigüidade Clássica tivessem a idéia que o pensar as coisas do mundo, deveria obedecer a leis próprias. Claro que a geometria, com suas verdades absolutas, ajudou Platão a formular as suas teorias sobre a realidade do mundo. Para Platão, a essência das coisas era constituida por objetos abstratos, eternos, imutáveis e incorpóreos, somente acessíveis pelo intelecto. De fato, as propriedades das figuras geométricas somente apresentam valores universais absolutos, quando as figuras forem interpretadas, conceitualmente, como abstratas. Os lados iguais de um triângulo isósceles, por exemplo, somente serão exatamente iguais, se o triângulo for uma figura abstrata. Um outro modo dos gregos antigos considerarem a exatidão absoluta, foi com a representação em números inteiros das grandezas geométricas. Daí a grande perturbação dos pitagóricos, ao descobrirem que o comprimento da diagonal de um quadrado em relação ao seu lado, não podia ser expressado por uma fração.

Aristóteles foi mais longe no Organon, definindo a lógica formal, em que a teoria do conhecimento se baseia em conceitos universais, formulados por indução das leis da razão. A lógica manifesta-se sob vários aspectos, mas de imediato pode-se dizer que é a ciência da inferência. Inferir é um exercício de raciocínio, que consiste em deduzir uma conclusão de premissas ou argumentos. Portanto, inferir é supor, presumir a partir de hipóteses, e a lógica estuda as regras que condicionam a dedução, a fim de se avaliar se a inferência é ou não válida. Vejamos a definição de lógica dada por Alonzo Church, professor de matemática da Princeton University, U.S.A., na Enciclopédia Britânica de 1964 : “Lógica é o estudo sistemático da estrutura das proposições e das condições gerais de inferência válida, por um método em que nos abstraimos do conteúdo ou matéria, para se lidar somente com a sua forma lógica”. Portanto, pode-se afirmar que o silogismo tem uma estrutura de inferência, em que sendo válidas as premissas, podemos então inferir que a conclusão também é válida. A lógica manifesta-se continuamente na linguagen comum, se bem que sujeita, quase sempre, a distorsões e irregularidades, que fazem com que o raciocínio fique longe de ser lógico. Para evitar estas situações, os matemáticos criaram uma linguagem especial, apropriada ao rigor do raciocínio matemático, a chamada linguagem formal. A análise lógica formal consiste em formular sentenças, onde se atirbui ao sujeito um certo número de predicados específicos, isentos de ambigüidades ou contradições. O rigor absoluto aristotélico das duas posições mutuamente excludentes, a verdadeira e a falsa, foi finalmente superado por Gottlob Frege, (1848-1925), filósofo e matemático alemão, fundador da lógica matemática moderna. Frege introduziu quantificadores nas regras de inferência, possibilitando desenvolver o cálculo dos predicados, isto é, aferir em que bases axiomáticas podem ocorrer as inferências, tanto as válidas quanto as não válidas. Esta expansão dos conceitos de veracidade e de falsidade decorrente das teorias de Frege, propiciou inúmeros exercícios da lógica das proposições e seus predicados. Os exemplos foram obtidos por assunção que consiste em se admitir algo como válido, demonstrando as suas conseqüências, independentemente das proposições serem verdadeiras ou falsas. Conhecer como é possível deturpar o raciocínio correto, construindo as falácias ou sofismas, é tão importante quanto conheceer as regras da lógica. A lógica permeia todas as atividades do indivíduo, permitindo-lhe viver em sociedade com os demais. Sem a lógica subjacente na nossa linguagem, seria impossível a comunicação entre indivíduos. Mas enganar utilizando argumentos capciosos em estruturas lógicas, tão freqüente nos tempos atuais, deve ser constantemente combatido, ensinando as pessoas a raciocinar corretamente.

Para Aristóteles as “realidades” do mundo constituiam-se em sistemas, onde um certo número de “idéias” básicas, os axiomas, eram universais e evidentes em si mesmo. Quer dizer, formavam um conjunto de “verdades” indemonstráveis, das quais se deduziam todas as proposições da teoria. Na matemática moderna, sobretudo após o advento dos computadores, o método axiomático teve uma grande expansão, tornando-se o modo hipotético-dedutivo mais utilizado. No entanto, os seus axiomas não significam mais a “verdade”. Por isso, para designar as regras básicas que regem os sistemas, os termos axiomas e postulados são usados indeferentemente, como se fossem sinónimos.

A geometria plana de Euclides, (c.330-c.275 a. C.), continua sendo o exemplo clássico do método axiomático. Apresentada por Euclides no seu tratado de 13 volumes, intitulado Elementos, a geometria euclidiana baseia-se em cinco axiomas, dos quais se deduzem 465 teoremas. Os axiomas são :

1º. Por quaisquer dois pontos do plano, é sempre possível passar uma e somente uma linha reta

2º. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente a partir dos seus extremos

3º. Qualquer ponto do plano pode ser centro de um círculo, qualquer que seja o seu raio

4º. Todos os ângulos retos são iguais

5º. Por um ponto fora de uma linha reta, é sempre possível passar uma linha reta paralela à linha reta dada, isto é, as duas linhas retas nunca se cruzam por mais que se prolonguem

Vejamos agora alguns comentários sobre axiomas. Convém esclarecer, desde já, que o método axiomático de Euclides, lida basicamente com linhas retas e círculos, e que as únicas construções com esses elementos geométricos, consideradas válidas pelos gregos, eram as obtidas com régua (sem escala) e compasso. A razão dessa exigência, é que ela correspondia exatamente à idéia que os gregos tinham da essência da geometria. A questão da régua sem escala, era porque a unidade quantificadora de um segmento de linha reta, podia ter qualquer extensão, desde que ela dividisse esse segmento em um certo número de partes iguais. A extensão seria portanto representada por um número inteiro positivo, (os gregos não tinham noção de número negativo), que não interessava saber qual era exatamente o seu valor.

Voltemos aos axiomas de Euclides. Ao Nº 4 por exemplo : “Todos os ângulos retos são iguais”. Por quê essa preferência exclusiva pelo ângulo reto ? Porque o ângulo reto define uma propriedade universal do triângulo : a soma de seus ângulos internos é de dois ângulos retos, ou seja, 2x90°= 180°, e esta propriedade é suficiente para desenvolver todos os teoremas da geometria plana. Se o triângulo for eqüilátero, (todos os lados iguais entre si), qualquer ângulo interno é de 60° ; se for um triângulo retângulo isósceles, (dois lados iguais entre si), os dois ângulos iguais são de 45° cada um. Consideremos um caso bem mais complicado envolvendo o ângulo reto. Suponhamos uma linha reta horizontal traçada com a régua sem escala e que nessa linha reta marcamos, aleatoriamente, dois pontos. Com o compasso centrado num e depois no outro desses pontos, e com um raio mauior que a metade da distância entre eles, traçamos dois arcos de círculo que se cruzam de um lado e de outro da linha reta dada. Unindo por uma linha reta os dois pontos de cruzamento, obtemos uma outra linha reta, perpendicular à primeira e dividindo o seu segmento de reta em duas metades. Centrando o compasso no ponto de cruzamento das duas linhas retas perpendiculares e com um raio igual à metade do segmento de reta, traçamos, com o compasso, um círculo que passa pelos dois pontos dados e que marca na linha reta perpendicular, outros dois pontos a igual distância do ponto de cruzamento. Unindo esses quatro pontos por linhas retas, obtém-se um quadrado inscrito no círculo. Cada diagonal do quadrado, isoladamente, divide o quadrado em dois triângulos retângulos, cujos ângulos retos são os opostos à diagonal considerada. Suponhamos que o vértice de ângulo reto gire na circunferência, passando para uma nova posição no quadrante, mantendo-se unido por retas com os pontos da circunferência, extremos da diagonal considerada, por exemplo a horizontal. O que acontece com o ângulo reto do vértice, deslocado para a nova posição ? Mantém-se ângulo reto ou passa a ter um outro valor de abertura ? Para se obter a resposta temos de recorrer a uma propriedade universal do triângulo : “a ângulos internos iguais, lados opostos iguais”, que se aplica ao nosso caso, visto que a hipotenusa do triângulo retângulo está dividida em duas partes iguais. Claro que o segmento de reta que une o vértice ao centro do círculo, poderia continuar sendo a bissetriz do ângulo do vértice, abrindo ou fechando a sua abertura, igualmente, de ambos os lados da bissetriz. No entanto isso não pode ser feito, pois a hipotenusa não se altera, continuando a ser sempre o mesmo diâmetro do círculo. Logo, o ângulo do vértice é sempre um ângulo reto, isto é, de 90°, qualquer que seja a posição do vértice na circunferência do círculo. A circunferência é, portanto, o lugar geométrico dos pontos do plano que se situam a igual distância de um outro ponto chamado centro.

Todas estas questões fazem parte da geometria plana elementar, assim chamada por ter sido apresentada por Euclides nos Elementos. O que é mais interessante, acima de tudo, é constatar o rigor da lógica euclidiana, nos raciocínios de dedução.

E fico por aqui. Até à proxima LIÇÃO.

2007-07-29T08:30:00.000-07:00

LIÇÃO Nº 5

Como já dissemos, os sistemas numéricos foram sendo expandidos sucessivamente, à medida que se constatavam as suas insuficências. Expandir significa que o sistema expandido em cada etapa, engloba todos os sistemas anteriores. O sistema de números reais é considerado o sistema final, aquele onde foram atendidas todas as insuficiências. No entanto, para os matemáticos, o sistema realmente completo é o representado pelos números complexos, apesar de estes não resultarem da expansão dos números reais. Porém, não quero antecipar-me tratando agora deste assunto, que deve aguardar a sua oportunidade.

Os números reais incluem os números irracionais, que são de “natureza” diferente dos anteriores. Estes, ou seja, os números racionais, são ilimitados, não existe número que seja o maior de todos. São seqüências ordenadas sem fim, não terminam nunca. Por isso, são chamados de infinitos. Só que esse infinito nunca é alcançado. Com os números irracionais não é assim, têm um limite, um valor, que não é ultrapassado. Além disso, esse valor só é atingido quando o número irracional for infinito, o que parece um paradoxo. O que acontece, é que o número irracional pode ser obtido por uma série convergente, isto é, por uma somatória infinita de termos, que se completa em um determinado valor quando atinge o infinito. Por esse motivo, Konrad Knopp, matemático alemão, fez o seguinte comentário em Infinite Sequences and Series, Ed. Dover Publications Inc. N. Y. , 1956 : “A designação ‘soma’ usada habitualmente para o valor de s é, apesar de tudo, infeliz. Porque s não é uma soma, mas na verdade o limite de uma seqüência de somas, especificamente, a seqüência de somas parciais de séries. Isto é especialmente enganador, pois leva a crer que se pode operar com séries infinitas exatamente como se fossem somas ordinárias, ou seja, como somas tendo um determinado número finito de termos.” Esta característica dos números irracionais fica bem evidente na representação desses números na forma de frações contínuas. A fração contínua consiste na soma de um número com uma fração, onde esta por sua vez, é também a soma de um número com uma fração e assim sucessivamente, ad infinitum. Assim, a 2 tem a seguinte expressão :

2 = 1+ -------------------------

2 + ------------------

2 + ------------

2 + ...

Agora se nesta fração contínua, separarmos as frações parciais a partir do número 1 para a direita, considerando, sucessivamente, somente a parte até cada número 2 , os valores obtidos formam a seguinte seqüência de valores :

1/1, 3/2, 7/5, 17/12, ... , onde cada denominador é a soma do numerador com o denominador da fração anterior e o numerador, por sua vez, é a soma do seu denominador com o denominador da fração anterior. Esta seqüência de números racionais, apresenta uma característica muito interessante, os seus valores são, alternadamente, menores e maiores do que 2. Assim, a seqüência em questão é a “combinação” de duas seqüências convergentes, que podem perfeitamente ser consideradas em separado, uma da outra. A observação importante a fazer, é que esses valores parciais são meras aproximações, visto que não representam o número irracional 2 que é infinito.

Porém, como já dissemos, os números racionais e os números irracionais fazem, ambos, parte do sistema de números reais. Além disso, todos os números dessas duas categorias, podem ser representados por pontos de um eixo numérico, onde, como também já dissemos, são entidades geométricas adimensionais, o que pressupõe a continuidade no eixo numérico. Tratando-se de sistemas ordenados, Richard Dedekind, (1831-1916), matemático alemão, tomando por base os conceitos acima, definiu que a continuidade numérica estava garantida, quando fosse possível realizar um corte separando os números em duas classes, onde qualquer número de uma das classes estaria “posicionado” em relação a qualquer número da outra classe. A continuidade existiria se e somente se, no corte, uma classe estivesse “aberta” e a outra “fechada”. Quer dizer, considerando da esquerda para a direita, a classe da esquerda não teria o último elemento, ao passo que a classe da direita teria o primeiro elemento ou vice-versa. Esta definição corresponde exatamente ao caso das duas seqüências de 2, onde tanto uma como outra se enquadram nas condições exigidas pelo corte. Se considerarmos agora no sistema de números reais, somente os números racionais, verificamos que as condições de corte não se apresentam, por existirem intervalos que são preenchidos pelos números irracionais. Em resumo, o sistema de números reais engloba dois tipos de corte, o dos números racionais e o dos números irracionais. O primeiro, em que a unidade de medição se repete indefinidamente, estabelecendo uma correspondência uma-a-uma, similar e isomórfica, entre os números racionais e os números naturais e o segundo, em que a unidade de divisão evolui, convergindo para o valor limite do número irracional onde se dá o corte. Quanto aos números racionais decorrentes das interrupções no valor infinito do número irracional, eles não correspondem a nenhum corte, são apenas aproximações sucessivas a esse valor.

Vejamos um exemplo muito simples da distinção entre séries finitas e infinitas. Consideremos a série finita 1 – 1 + 1 – 1... +- 1 e que inserimos parenteses agrupando os seus números dois a dois (1 – 1) + ( 1 – 1) + ( 1 – 1 ) + ... . Se o número de elementos for par a soma será 0 , se for ímpar será 1, independentemente da ordem com que os pares podem ser agrupados. Ou seja, a série finita tem a propriedade associativa da soma. Admitamos agora que a mesma série é infinita. Se ao pares forem agrupados ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) + ... o resultado da soma será 0, mas se forem agrupados 1 – ( 1 – 1 ) – ( 1 – 1 ) – ... o resultado da soma será 1, o que mostra que a propriedade associativa não se aplica neste caso.

Bem, fico por aqui. Até a próxima LIÇÃO.

2007-07-29T08:23:00.000-07:00

LIÇÃO Nº 4

Voltemos aos números e à sua evolução. Vimos como eles se expandem à medida que revelam as suas insuficiências no atendimento às quatro operações aritmétricas. Dos números naturais passamos aos números inteiros positivos, e juntando a estes o zero, os números inteiros negativos e os números fracionários, obtivemos os números racionais. Também mostramos como os números racionais se “camuflam”, assumindo formas infinitas de dízimas periódicas, sem perder a sua natureza. O sistema dos números racionais, tal como o dos números naturais e o dos números inteiros, é um sistema ordenado, quer dizer, dados dois números do sistema, pode-se sempre afirmar que um em relação ao outro, ou é maior ou é menor. Entre dois números naturais consecutivos não se pode inserir um outro número natural, isto é, os números naturais têm uma seqüência numérica única e definitiva. Os números racionais têm uma estrutura diferente, entre dois múmeros racionais sempre existe um outro número racional. Por isso, diz-se que este sistema tem uma estrutura específica diferente, ela é “densa”. Por sua vez, o sistema de números racionais também teve que ser expandido, para absorver os números irracionais, que se dividem em números algébricos e números transcendentes. Algébricos quando satisfazem equações algébricas com coeficientes racionais e transcendentes caso contrário. Estes últimos são números isolados, infinitos e não-periódicos, que representam grandezas numéricas. Apesar da distribuição dos números racionais ser densa, há, na verdade, muito mais números irracionais que racionais. Se juntarmos os números irracionais aos racionais, formamos o sistema dos números reais. Este sistema é muito diferente dos anteriores que lidam apenas com números inteiros, ao passo que os números reais incluem todos os números infinitos não-periódicos. Consideremos uma linha reta horizontal e marquemos nela, aleatoriamente, um ponto, que definimos como sendo o O. Do lado direito e a uma distância, também aleatória, do ponto O, marquemos outro ponto, que definimos como sendo o 1. Temos assim um eixo numérico, onde com estes dados, podemos distribuir na linha reta, todos os números. O eixo numérico é uma representação interessante, uma visualização das classes de números, que ajuda a compreender as suas naturezas. Admitamos os números naturais, aos quais adicionamos o O. A seqüência dos números naturais vai-se desenvolvendo a partir do O para a direita, de uma forma contínua e ilimitada. Eles têm um começo, o zero, mas não têm fim, do lado direito, vão até ao infinito. Para entender os números naturais, é preciso conhecer os axiomas de Giuseppe Peano. (1858-1932), matemático italiano, que foi quem definiu as propriedades desses números :

1. O zero é um número.

2. Qualquer número natural ou o zero, a , tem um sucessor imediato. a + 1.

3. O zero não é sucessor de nenhum número natural.

4. Não existem dois números com o mesmo sucessor imediato.

5. Qualquer propriedade que seja do zero e também do sucessor imediato de qualquer número natural, é uma propriedade de todos os números naturais.

O último axioma é chamado de axioma da indução, por ser o que permite afirmar que os números naturais prosseguem indefinidamente. Realmente, os números naturais desenvolvem-se repetindo continuadamente um único passo, o do axioma 2. Isto é, ao avançar de um número, o conjunto volta exatamente à mesma condição anterior, o que permite induzir que a sua repetição é contínua e ad infinitum. Já vimos que é possível realizar a correspondência biunívoca dos elementos do conjunto dos números cardinais sobre os elementos do conjunto dos números naturais, ou seja, o número cardinal n , resulta da bijeção de um conjunto enumerável e finito sobre o subconjunto 1, 2, 3, ..., n dos números naturais. Os números cardinais representam, portanto, um número infinito de conjuntos finitos ordenados, quer dizer, conjuntos cujas seqüências obedecem a uma lei de formação, o axioma 2 de Peano. Assim se a e b forem dois números quaisquer, eles devem satisfazer uma e só uma das seguintes relações a < b , a = b , a > b . É claro que no caso dos números cardinais, esta lei fundamental da aritmética só se verifica para as desigualdades, pois a igualdade fica restrita à identidade a = a , visto que dois números cardinais nunca podem ser iguais. Além disso, apesar de ocorrerem referências a “infinidades”, não significa que nos números cardinais, o infinito esteja envolvido. Talvez teria sido melhor dizer que os números cardinais são ilimitados e não em número infinito. De fato, por maior que seja o número cardinal considerado, a sua posição não se altera na seqüência ilimitada dos números, não fica nem mais próximo nem mais afastado do ilimitado, pois não existe algo que possa qualificar-se como “infinito”. Não obstante Cantor, de quem já falei, mostrou que os números reais são inumeráveis, isto é, não é possível contá-los, mas apesar disso, podem ser agrupados em conjuntos eqüipotentes, representados pelo mesmo número cardinal. São os chamados números transfinitos. Vejamos por quê. Consideremos o eixo numérico conforme apresentado. Por meio de régua e compasso, tracemos uma reta perpendicular ao eixo passando pelo ponto 1. Marquemos nessa reta um outro ponto, tendo a mesma distância que o ponto 0 tem do ponto 1. Liguemos o novo ponto ao ponto 0 por uma reta. Obtemos assim, a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados adjacentes iguais, cujo valor é a raiz quadrada de 2, um número irracional. Com o compasso centrado no ponto 0 e com a abertura da hipotenusa, podemos marcar no eixo numérico esse número infinito. De modo análogo podemos proceder em relação ao número p , ou seja, obter no eixo numérico o ponto correspondente ao seu valor. Aliás, isso já foi feito, quando dissemos que a curva circular é retificável, quer dizer, obtém-se o ponto marcando, no eixo, o perímetro de um círculo cujo diâmetro é considerado a unidade de medição. O que significam estes procedimentos ? Será que um número infinito, pode ter um ponto como sua representação no eixo numérico ? Sendo o infinito inantigível, como pode um número infinito ter um ponto como sua “imagem” ? Para responder a estas questões, é preciso definir os conceitos de limite e de continuidade.

Fico por aqui. Até à próxima LIÇÃO

2007-06-13T08:03:00.000-07:00

LIÇÃO Nº 3

Falar em números é recordar tempos de infância, quando aprendemos a contar no sistema decimal dos 10 dedos das mãos. Nada parecia tão “natural”quanto essa maneira de contar que a natureza nos tinha concedido. Os números naturais 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... era tudo o que precisavamos para a nossa aritmética elementar.
Os números naturais são a classe dos números inteiros positivos, um conjunto ordenado constituido por uma seqüência de símbolos, representando quantidades, com os quais é possível estabelecer correspondências um-a-um com objetos de outras classes. Em resumo, é possível contar esses objetos mediante os números naturais. Esta definição é válida para qualquer sistema numérico, visto que se trata da definição dos números cardinais, isto é, de um conjunto enumerável finito e da correspondência biúnivoca de um número n – o número cardinal – sobre o subconjunto 1, 2, 3, ..., n dos números naturais (bijeção). Quer dizer, a bijeção é a correspondência entre os elementos de dois conjuntos, tal que a cada elemento de um conjunto corresponde um e só um elemento do outro conjunto. Assim, a correspondência um-a-um entre dois conjuntos iguais, serve para um conjunto, o dos números naturais, identificar o outro conjunto, o dos números cardinais. Em relação aos números naturais, há ainda algo fundamental a ser dito. As operações aritméticas de adição e multiplicação fazem parte da “natureza” desses números, da sua essência, visto que somar e multiplicar dá sempre como resultado números também naturais. Estas operações significam apenas deslocamentos dentro de um conjunto fechado, o que é a idéia básica dos números naturais. Vejamos agora a operação inversa da adição, ou seja, a subtração. Com os números naturais, só é possível realizar a subtração, quuando o diminuendo for maior que o diminuidor, caso contrario, o resultado seria um número negativo, que não existe na classe dos números naturais. Para que a subtração tenha a mesma abrangência da adição, isto é, para que possa ser realizada independentemente dos valores envolvidos, temos que expandir a classe dos números naturais, introduzindo o zero e os números negativos. Devemos aos hindus o conceito de zero e aos árabes o de nos terem transmitido esse conhecimento. Subtrair sem ou com números negativos, são procedimentos matemáticos diferentes. Subtrair significa “retirar o que foi colocado”, o inverso da adição e o sinal menos, – , é a notação dessa operação, o oposto ao sinal mais , + , da adição. Com os números negativos não é assim, o sinal – é incorporado ao número, podendo-se admitir a seguinte transformação : a – b = a + ( – b). Quer dizer, a subtração passa a ser uma adição de um número positivo com um número negativo e, deste modo, a subtração tem a mesma abrangência da adição, ou seja, pode ser sempre realizada.
Juntando o zero e os números inteiros negativos aos números inteiros positivos, obtém-se a expansão dos números naturais, que passam a ser denominados números racionais. Para que a classe dos números racionais fique completa, temos que incluir as frações de números inteiros, desde que os quocientes sejam números inteiros ou dízimas periódicas na representação do sistema decimal. Consideremos um simples produto, por exemplo, 2x3 = 3x2 = 6. Podemos supor que o primeiro produto 2x3, significa 2 grupos de 3 unidades cada um e o segundo grupo 3x2, 3 grupos de 2 unidades cada um. O resultado é o mesmo, 6, visto que a ordem dos fatores é arbitrária., isto é, o produto tem a propriedade da comutação. No primeiro caso, 2 é o número natural que serve para contar e 3 é o número racional que serve para medir. No segundo caso é o inverso, 3 é o número natural que conta e 2 é o número racional que mede. O que dissemos quanto aos dois produtos, consiste em especificar, para cada um deles, o mútltiplo e o divisor.
Admitamos o conjunto dos números inteiros, incluindo o zero : 0, 1, 2,3, ... e que nele escolhemos um valor absoluto qualquer, de notação |a| , representado pelos dois números + a . Os múltiplos de a são os elementos do conjunto 0, a, 2a, 3a , ... , isto é, são todos os números da forma ka , onde k é um número inteiro. Se a for o número 2 e n um número inteiro, temos 2n , que representa todos os números pares. Já que estamos tratando dos números pares, aproveito para mostrar a vocês a correlação entre os elementos de dois conjuntos, o dos números naturais e os dos números inteiros pares :

Fazendo a correspondência um-a-um entre os elementos dos dois conjuntos como mostra a figura, chega-se à conclusão que eles têm o mesmo número de elementos, visto que ambos são conjuntos infinitos bem ordenados. Isto é, são conjuntos onde existe uma relação de ordem tal que todos os seus subconjuntos têm um elemento menor, ou seja, um “começo”. Como os números inteiros pares são um subconjunto dos números naturais, a conclusão é que “a parte é igual ao todo”, por serem os dois do mesmo “tamanho”. Parece um paradoxo mas não é, porque lidamos com o , isto é, com coleções infinitas todas iguais em tamanho, desde que sejam conjuntos enumeráveis é claro.
Voltemos aos divisores, ou melhor, à divisibilidade. A divisão, como já disse, é a operação inversa da multiplicação, mas não se limita a este conceito. Mesmo com números inteiros, a / b significa basicamente uma relação entre duas grandezas, e quando temos a igualdade de duaas frações, a / b = c / d , dizemos que existe a mesma relação de proporcionalidade. Se a / b = c / d é porque a . d = b . c , quer dizer, na multiplicação cruzada, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Exemplo de grandezas proporcionais : 6/2 = 12/4 o que dá : 6x4 =2x12 = 24. Se substituirmos os meios por uma mesma incógnita temos a média proporcional de dois números a e b : a / x = x / b , ou seja, = a.b .
Um exemplo de grandezas proporcionais são as escalas aritméticas, onde as grandezas reais são representadas por comprimentos proporcionais. Por exemplo, um desenho na escala 1: 100 , significa que 1 cm no desenho corresponde a 100 cm = 1,00 m na configuração real. Uma régua de escalas é uma régua de seção transversal triângular, dando 2x3 = 6 escalas, usada pelos desenhistas para fazer desenhos. Outra régua que foi muito usada pelos calculistas de estruturas, foi a de escalas logarítmicas, onde as grandezas reais são representadas por comprimentos proporcionais aos logarítmos desses valores. Estas réguas facilitavam o cálculo, substituindo as multiplicações e divisões por, respectivamente, somas e subtrações Com os computadores, estas réguas de cálculo deixaram de ser usadas.
A relação entre duas grandezas pode ser simplificada sem que se altere o seu valor, desde que o numerador e o denominador tenham, pelo menos, um divisor comum. Eliminar o divisor comum consiste em reduzir a fração à sua expressão mais simples. Tendo vários divisores, o procedimento é obter o máximo divisor comum, o mdc, ou seja, o maior número inteiro que divida exatamente o numerador e o denominador. Para tanto, o procedimento consiste em divisões sucessivas, conhecido pelo nome de algoritmo de Euclides, que se baseia, é óbvio, no Teorema da Divisão que aprendemos na escola primária. Dividir um número inteiro positivo por outro, consiste, basicamente, em subtrair do primeiro – o dividendo – um múltiplo do segundo – o divisor – múltiplo esse chamado de quociente, obtendo-se dessa subtração uma diferença que é o resto ou resíduo. Quando o resto é zero, diz-se que a divisão é exata. Por outras palavras, a divisão é um procedimento que procura saber quantas vezes um dado número, o dividendo, contém um outro número, o divisor. Vejamos a aplicação do algoritmo de Euclides a um par de números, por exemplo, 3959 / 1591 :

3959 / 1591 dá resto 777
1591 / 777 dá resto 37
777 / 37 dá resto 0

O último divisor, 37 , dá resto 0 , isto é, 37 é o máximo divisor comum, o mdc, da fração, que, sendo assim, pode ser reduzida à expressão mais simples 107 / 43 , resultante da divisão dos termos da fração pelo mdc, ou seja, por 37.
Como vocês vêem, o algoritmo de Euclides é um procedimento que se repete em cada etapa, onde um par de números é submetido à divisão, obtendo-se um número inteiro positivo como quociente e um resto. A divisão começa com os números dados, sendo que nos passos seguintes, os números são formados pelo divisor anterior, como dividendo, e o resto como divisor. Em resumo, o que se procura é dividir o divisor em unidades cada vez menores, a fim de se alcançar a divisão exata. Quando o resto der 0 , o seu divisor é o mdc da fração. É claro que o conceito de algoritmo não veio do tempo de Euclides, pois foi formulado apenas no século XX. Chama-se algoritmo a uma seqüência finita de regras de operação, destinada a resolver um determinado problema. O procedimento de Euclides enquadra-se nesta definição, por isso é assim chamado. As regras do algoritmo têm de ser bem definidas, isentas de ambigüidades e contradições, para que possam ser aplicadas por computador, através de umna linguagem de programação adequada. O algoritmo, portanto, rege-se por uma lógica própria, que pode ser traduzida pela lógica da máquina. O nome de algoritmo veio da corruptela do nome do matemático árabe do século IX, Abu Ja’far Mohammed ibn Mûsâ al-Khowârizm.

Quero abordar mais uma questão antes de encerrar esta LIÇÃO. Como todos sabem, o Teorema da Divisão diz-nos que b = aq + r , onde q é o quociente e r o resto. Vejamos o que acontece quando fazemos uma série de divisões, tendo todas o mesmo resto para o mesmo divisor. Suponhamos, por exemplo, as divisões onde 7 é o divisor e 3 o resto. Tendo estes valores, as divisões dão os seguintes dividendos : 10 = 7.1 + 3 ; 17 = 7.2 + 3 ; 24 = 7.3 + 3 ; 31 = 7.4 + 3 , e assim sucessivamente. A conclusão é que o conjunto de dividendos 10, 17, 24, 31, ... forma uma progressão aritmética, isto é, uma sucessão onde a diferença entre dois termos consecutivos é uma constante, neste caso (7). Quando os números se relacionam desta forma, diz-se que existe entre eles uma relação de congruência, ou seja, são equivalentes pois têm o mesmo significado. Se a e b forem dois desses números, podemos então dizer que “a é congruente com b módulo m , se e somente se, m dividir (a – b)”. A notação correspondente é : a b (mod m), se e somente |m| (a – b) .
Observem no exemplo dado de progressão aritmética, que a diferença entre dois termos quaisquer, não consecutivos, é sempre de um múltiplo de 7, sendo que esse múltiplo é igual à diferença dos múltiplos de cada termo. Como disse, a relação de congruência é uma relação de equivalência e, por isso, devem ter, como na igualdade, as seguintes três propriedades :
Reflexiva : a a (mod m)
Simétrica : se a b (mod m), então b a (mod m)
Transitiva : se a b (mod m) e b c (mod m) então a c (mod m)
Vocês devem-se lembrar do que eu disse quanto à correspondência um-a-um da Teoria dos Conjuntos e da importância das transposições de um comjunto para o outro na definição das suas propriedades. Pois bem, com o módulo é um caso semelhante. O módulo é uma unidade de divisão que “mede o tamanho” dos números inteiros e sendo assim, podem-se estabelecer correspondências um-a-um entre os elementos de dois conjuntos finitos, o que constitui o fundamento da Teoria dos Grupos.
Reparem na propriedade reflexiva. Representa o princípio da identidade, aquele que nos diz que uma “coisa” é sempre igual a si mesma. No entanto, vocês, com certeza, lembram-se do que eu disse, de que os números naturais e os números inteiros positivos eram duas classes de números, diferentes entre si, apesar de terem a mesma representação simbólica. Se têm a mesma estrutura, isto é, se são isomorfos, então, podemos dizer que têm a propriedade reflexiva. Porém, se são classes diferentes, a propriedade passa a ser a simétrica. Podemos conciliar as duas posições, dizendo que a reflexiva é um caso particular da simétrica, onde um conjunto se relaciona consigo mesmo, como um objeto se relaciona com a sua imagem no espelho. Voltemos ao exemplo da progressão aritmética módulo 7. A seqüência de números 8, 15, 22, 29, ... são todos congruentes módulo 7, visto que 8-1 = 1x7, 15-1 = 2x7. 22-1 = 3x7, 29-1 = 4x7, e assim sucessivamente. Observem que tudo se passa como se após contar até 7, começassemos a contar novamente, repetindo essa contagem até esgotar o seu múltiplo. Podemos dizer o mesmo do ponteiro dos minutos de um relógio, que ao atingir 60 minutos, volta a contar novamente a partir do zero. Os minutos constituem, portanto, um grupo de números de 0 até 60, cujo módulo é 5. De fato, 60-5 = 55 = 11x5, 60-10 = 50 = 10x5, 60-15 = 45 = 9x5, e assim sucessivamente até 60-55 = 5 = 1x5. No relógio digital isto é evidente, pois é possível acertar os minutos sem alterar as horas. Já no relógio mecânico, o ponteiro das horas está interligado com o dos minutos, pelo que são as horas que constituem um grupo de números, de 0 até 12, cujo módulo é 1. Quer dizer, em chegando as 12 horas, os dois ponteiros coincidem e recomeça a contagem a partir do 0.
Chamo a vossa atenção para dois pontos importantes, que resultam do que eu disse anteriormente. Primeiro, todos os números que apresentem o mesmo resto, na divisão pelo mesmo divisor, são congruentes no módulo do divisor. Segundo, na divisão de um número qualquer por outro m, o resto é sempre um número da seqüência que vai de 0 até m-1, como mostra o Teorema da Divisão. Se m for um módulo, todos os números congruentes entre si módulo m, cobrem a seqüência de 0 até m-1, formando uma classe congruente.

Quero encerrar esta LIÇÃO voltando ao conceito de permutação. A Teoria das Probabilidades de que tantos falam, mas só poucos conhecem, lida com eventos em que cada evento, depende não só de vários fatores, mas também da seqüência em que estes acontecem. Assim, a análise combinatória é fundamental na avaliação das probabilidades dos eventos dessa natureza, onde o número de combinações possíveis em um evento de n fatores é igual a n ! , quer dizer, é igual a n fatorial, que é o produto da seqüência de números de 1 até n. Por exemplo, 5 ! = 1x2x3x4x5 = 120 combinações. Nos casos mais simples, os fatores formam somente um conjunto de grupos, mas nos mais complexos, os grupos dependem de subgrupos para a sua avaliação.

Fico por aqui. Até à proxima LIÇÃO.

2007-05-30T09:12:00.000-07:00

LIÇÃO Nº 2

Esta LIÇÃO é dedicada aos números considerados não isoladamente, mas fazendo parte da Teoria dos Números. Por se tratar de um vasto campo do conhecimento matemático, a minha abordagem restringe-se a aspectos elementares, que espero sejam suficientemente abrangentes para se ter idéia dos conceitos básicos que fundamentam a teoria.
Aprendi os números, no ensino secundário, como sendo noções intuitivas, que não precisam de ser explicadas. É claro que fiquei sabendo que existiam números pares e ímpares, bem como números primos. Os números eram pouco mais do que isso, incluindo também o sistema decimal e nada mais. Pois bem, há 2.500 anos, os Pitagóricos já sabiam que lidar com os números não era assim tão simples. O que aconteceu foi justamente com o Teorema de Pitágoras, que ao ser aplicado à diagonal de um quadrado, faz com que o seu comprimento em relação ao dos dois lados iguais, seja representado por 2. Só que 2= 1,41421356237309504 ... , isto é, o seu valor não pode ser expresso por uma fração p/q onde p e q são números inteiros. Esta descoberta provocou enorme impacto na escola pitagórica, derrubando a firme convicção de que os comprimentos de dois elementos de uma figura geométrica, podiam sempre ser medidos pela mesma unidade. Por outras palavras. Comecemos pelo Teorema de Pitágoras que todos vocês conhecem : “Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados”. Temos portanto a relação algébrica a2 + b2 = c2 e o exemplo mais simples da relação com números inteiros é 32 + 42 = 52 , mas existe um número infinito de outros trios pitagóricos. No entanto, se os dois lados menores do triângulo retângulo forem iguais, não existe nenhuma unidade que dividindo os lados menores em partes iguais, divida também a hipotenusa em partes iguais. O lado e a hipotenusa são grandezas incomensuráveis entre si, quer dizer, não existe nenhuma medida, em números inteiros, que seja comum às duas.
Façamos um breve intervalo para explicar melhor a reação dos Pitagóricos à descoberta do chamado número irracional, cujo exemplo neste caso, é a raiz quadrada de 2. Os Gregos da Antigüidade Clássica, somente admitiam como “verdadeiras”, as configurações geométricas que fossem construidas por meio de régua, (sem escalas), e compasso. Convém esclarecer, desde já, que este conceito está correto se as figuras geométricas construidas dessa forma, representam verdades incontestáveis. É óbvio que o conceito é limitante, visto que sómente se aplica a figuras no plano, mesmo assim não a todas, mas quando existem, são tão verdadeiras quanto as numéricas. Vejamos o exemplo da mais simples de todas : desenhar duas linhas retas perpendiculares. Trace uma linha reta horizontal ; marque nela dois pontos ; com o compasso centrado em um dos pontos e depois no outro, e com um raio de comprimento menor do que a distância entre eles, mas maior do que a sua metade, trace dois arcos cruzando-se de um e do outro lado da linha reta horizontal. Ligando por uma linha reta os dois pontos de cruzamento, obtém-se a perpendicular à linha reta horizontal, passando pelo ponto central da distância entre os dois pontos iniciais marcados aleatoriamente na linha reta horizontal. Este procedimento que, provavelmente, vocês conhecem, é a reprodução geométrica exata da mediana de um triângulo isosceles, ou seja, é a verdade de uma propriedade realizada por uma configuração geométrica. Divirtam-se construindo figuras geométricas com uma régua e um compasso, tal como os gregos fizeram. Experimentem, por exemplo, construir uma estrela de Davi, “fechando-a” com um hexágono, mas sem “pular” nenhum passo.
Vejamos agora como os Pitagóricos chegaram à conclusão que 2 é um número infinito. Com a régua e o compasso construiram um quadrado, aplicando o procedimento das duas linhas retas perpendiculares, mas usando-as como diagonais. Unindo por retas os seus extremos, obtiveram um quadrado, dividido em quatro triângulos retângulos isosceles, onde o comprimento do lado do quadrado é 2 visto que o lado é a hipotenusa do triângulo. Com o compasso, projetaram o lado menor do triângulo sobre a correspondente hipotenusa e verificaram que a relação dos dois comprimentos não era uma relação exata. Tendo o lado menor como unidade, o comprimento da hipotenusa deu maior que 1 mas menor que 1,5. Após alguns anos desta constatação, Eudoxo,(405-355a.C.), apresentou a Teoria da Proporcionalidade, incluindo nela os triângulos semelhantes, isto é, aqueles cujos lados são proporcionais e cujos ângulos são iguais. Sendo os lados proporcionais, a relação não exata obtida pelos Pitagóricos, mantém-se não exata para qualquer outra subdivisão da unidade em partes iguais. Por outras palavras, dividindo a unidade em partes iguais, qualquer que seja o seu número, cria-se uma outra unidade em que a primeira é sua múltipla, onde em nada se altera na relação com a hipotenusa. Por isso, os Gregos não faziam questão da escala da régua, pois as propriedades geométricas mantêm-se independentemente do “tamanho” da unidade. É claro que esta conclusão a partir dos triângulos semelhantes não constitui uma demonstração, pois lidando com o infinito, ninguém pode afirmar que a subdivisão continua sempre com as mesmas propriedades. A comprovação veio mais tarde, cerca de 200 anos depois, quando Euclides demonstrou que a relação das duas grandezas do quadrado não pode ser um número inteiro. O método que Euclides empregou foi depois chamado reductio ad absurdum, do latim “redução ao absurdo”, que consiste em negar aquilo que se deseja provar, para no fim se chegar a uma conclusão totalmente inaceitável, comprovando que o que se negou estava certo. Este procedimento lógico só é válido se a proposição tiver apenas duas alternativas, ser ou não-ser, isto é, a proposição A é verdadeira visto que a proposição não-A é absurda. É o clássico álibi na ocorrência policial, quando o réu nega a acusação, provando estar em outro lugar no momento em que o crime foi cometido.
Voltemos a Euclides e à sua demonstração de que a 2 não pode ser representada por uma fração de números inteiros. Vejamos as premissas incontestáveis adotadas : 1) Qualquer número multiplicado por 2 é um número par ; 2) Se o quadrado de um número for par, então o número tem de ser também par. Assim sendo, consideremos que 2 = p / q . Esta fração pode ser sempre reduzida à sua expressão mais simples, isto é, aquela que resulta da eliminação de qualquer fator comum às duas grandezas. Elevando ao quadrado temos 2 = p / q ou seja : 2q = p . Mas como foi dito em 1) 2q é um número par e portanto p é também um número par. Mas se p é um número par, então por 2) p também é par. Sendo par, p pode ser substituido por 2 m, o que dá 2 q = (2 m) = 4 m . Dividindo por 2 ambos os lados da equação, temos q = 2m , quer dizer, q também é par. Sendo p e q ambos pares, então a fração p / q não está reduzida à sua expressão mais simples. Portanto, a conclusão contradiz a premissa inicial, logo a fração não tem representação em números inteiros. Esta demonstração de Euclides é muito interessante por ele ter abandonado a geometria, incapaz de resolver a questão, recorrendo aos números, usando-os segundo as classes e de acordo com as respectivas propriedades. De fato, a demonstração gira em torno de os números primos, os números inteiros >1, divisíveis somente por si mesmos e por 1. Reduzir à expressão mais simples, é eliminar os fatores comuns às duas grandezas, dividendo e divisor, isto é, reduzí-las a números primos. Isso não significa que ambas tenham que ser, obrigatoriamente, números primos, pois a relação depende da base ou módulo com que se inicia a progressão. Por exemplo, 5 e 9 são números primos entre si, visto que não têm nenhum fator comum, mas, no entanto, 5 é um número primo ao passo que 9 não é, pois 3x3 = 9. Os números não-primos são números compostos, sendo que um número composto pode ser sempre representado por um produto de números primos. Os números 0 e 1 não são números primos nem números compostos, porque são números “especiais”, a divisão por 0 é indeterminada, o 0 é um valor absoluto, que não divide nem é divisível e a divisão por 1 de qualquer número, repete esse número, ou seja, é o elemento neutro da multiplicação e, é claro, da divisão, assim como o 0 é o elemento neutro da soma e da subtração.
O procedimento de decompor um número em seus fatores, chama-se fatoração. Observe que o número 2 é o único número primo par, todos os outros, em número infinito, são ímpares. O fato de 2 ser o único primo par, é que leva à conclusão inaceitável na demonstração de Euclides, comprovando a existência do número irracional 2 .
A divisão é a operação inversa da multiplicação e é desta forma que o conceito de divisibilidade é definido. Dizemos que b divide a se existir um número inteiro c tal que a = bc. A notação da expressão “b divide a” é b| a . Se o traço vertical estiver cortado por um traço inclinado, isso significa que “b não divide a”. Do mesmo modo, dizemos que duas frações são iguais a / b = c / d quando a d = b c . De fato, para “desfazer” as divisões, os divisores b e d têm que “mudar de lado”, isto é, mudar de membro da equação, passar de um lado para o outro, invertendo a operação. Se em um membro estavam dividindo, passam a multiplicar no outro membro. Os divisores b e d passam a ser fatores, ou seja, ad = bc. Estes conceitos elementares da Teoria dos Números servem para fundamentar enunciados mais abrangentes. Vejamos por exemplo, o seguinte teorema : “Se um número primo p for tal que p | ab então é porque p | a ou p | b , ou seja, “traduzindo” : “se um número primo p for tal que divida ab , então é porque p divide a ou divide b ". Este teorema resulta da aplicação direta do conceito de divisão. De fato, se p é um número primo e se divide um outro número, é porque este é múltiplo de p, se não divide é porque são primos entre si. Por outras palavras, se p divide um número, é porque está “contido” nele, “faz parte dele”. Proceder desta forma com os números inteiros n>1, é obter a fatoração, isto é, a decomposição dos números em um produto de números primos. É claro que os números primos aparecem ou como números primos isolados, ou como potências cujas bases são números primos. Com isto chegamos ao Teorema Fundamental da Aritmética cujo enunciado é : “A fatoração de um número inteiro n>1 em números primos é única, independentemente da ordem dos seus fatores”. Esta afirmação de que a decomposição é única não se observa em toda a extensão dos números, obrigando a se recorrer aos números ideais. No entanto não devo me antecipar tratando um assunto tão difícil. Reservo-me para voltar a esta questão quando for oportuno.

Para encerrar esta LIÇÃO, temos que voltar aos números. O objetivo dos Gregos era o de interpretar as figuras geométricas, procurando conhecer todas as sua propriedades, porque nelas estava a “verdade”. A geometria de Euclides lida com comprimentos e ângulos, isto é, lida com quantidades, que para serem medidas, necessitam que se defina a respectiva unidade de referência. Assim, medir um comprimento é saber quantas unidades de referência estão contidas no comprimento a medir. Por isso, para os Gregos, os números inteiros eram suficientes para se obter todas as respostas que desejavam, pois seria absurdo pensar que um lado, por exemplo, teria um comprimento negativo. Além disso e pelo mesmo motivo, não sentiam falta do zero, que aliás desconheciam. De fato, o número zero veio da matemática hindu e foram os árabes que o introduziram no ocidente. Passemos agora aos ângulos. Medir ângulos é uma outra questão, que não tem nada a ver com medir comprimentos. Ângulo é uma figura geométrica formada por duas semi-retas - os lados - tendo o mesmo ponto de origem – o vértice – e cuja abertura dá a medida da sua grandeza. As duas semi-retas formam um plano, por isso, pode-se dizer que a abertura de um ângulo, é o quanto o lado considerado móvel, gira no plano em relação ao lado considerado fixo, no sentido anti-horário, que é o sentido positivo convencional. Deste modo, uma rotação completa do lado móvel em relação ao lado fixo, percorre todos os ângulos possíveis de um círculo, cujo centro é o centro de rotação das duas semi-retas. Agora, se dividirmos a circunferência de um círculo aleatório em 360 partes iguais, criamos a unidade de medida do ângulo, o grau, cuja quantidade contada a partir da semi-reta fixa, dá a abertura do respectivo ângulo. Julgo que todos vocês conhecem os ângulos notáveis do círculo : os ângulos de 45, 90, 180, 270 e 360 graus. Disse que podiamos escolher o círculo aleatoriamente, isto é, qualquer um, que a unidade, ou seja, o grau seria sempre o mesmo. De fato, essa é uma propriedade dos círculos concêntricos. Se dividirmos esses círculos no mesmo número de partes iguais, começando sempre no mesmo ponto, ao mesmo número de unidades correspondem, nos círculos concêntricos, pontos colineares, isto é, pontos situados em uma mesma semi-reta radial. Pode-se ter uma outra unidade de medida de um ângulo, a do arco de circunferência, cujo comprimento, seja igual ao do raio do respectivo círculo. Trata-se portanto de um círculo específico, o de raio unitário, escolhido aleatoriamente. Essa unidade é o radiano, cuja notação é rad. que faz parte do SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES.
Vejamos a justificativa desta unidade. Para que uma curva possa ser medida no seu comprimento, é preciso que seja retificável, quer dizer, que possa se transformar em uma linha reta, de tal modo, que a distância entre dois pontos da curva medida no respectivo arco, não se altere entre os mesmos pontos da linha reta correspondente. Isto só acontece se a curva for o limite superior de todas as linhas poligonais que nela se inscrevem, o que é o caso do arco circular. De fato, já vimos que o círculo é o limite superior de todas as poligonais fechadas, não cruzadas, inscritas no círculo, cuja circunferência só é alcançada quando o número de lados da poligonal for infinito. Além disso, precisamos de conhecer qual é a relação entre o perímetro do círculo, ou seja, entre o comprimento da circunferência , e o do respectivo diâmetro, valor esse que é representado pela letra grega (ler pi). Os babilônios e os antigos egipcios já tinham alguma noção desse número, pois foi lhes fácil obter o perímetro de uma roda , marcando um ponto na sua borda e rodando com ela sobre um chão plano onde deixasse o rasto em linha reta de uma rotação completa. Marcando no risco, a partir do início do perímetro, o comprimento do diâmetro da roda, concluiram que para atingir o final do perímetro, precisavam inserir 3 vezes o diâmetro, faltando ainda uma pequena extensão que não sabiam como medir.Verificaram também que se em vez do diâmetro, marcassem o raio da roda, obtinham em relação à metade do perímetro o mesmo número, e se fizessem o mesmo com vários tamanhos de roda o resultado era sempre o mesmo. Quer dizer, o número era uma constante. Na matemática, não existe nenhum número tão pesquisado quanto o número . A avaliação começou com a contribuição de Eudoxo, (405-355 a. C.), da teoria da proporção, da qual resultou o método da exaustão ou método das aproximações sucessivas, que consiste em considerar a seqüência dos perímetros de poligonos regulares, inscritos e circunscritos no círculo, à medida que aumenta o número de lados. As duas classes de polígonos convergem para o mesmo perímetro do círculo, a dos inscritos como limite superior e a dos circunscritos como limite inferior.
Arquimedes, (287-312 a.C.), considerado o maior matemático da Antigüidade, aplicou o método de Eudoxo, começando com hexágonos e dobrando o número de seus lados até atingir dois polígonos de 96 lados. Com essa aproximação, definiu que a relação da circunferência de um círculo com o seu diâmetro era menor que 3 . 1/7 e maior que 3. 10/71 , ou seja, na notação decimal 3,1408 ... e 3,1428 ... . Contribuiram para a avaliação de , astrônomos da India e da China e após a Idade Média, Fibonacci, (1180-1250), e outros, até que, finalmente, fixou-se o seu valor a partir do século XVII em = 3,14159265358979323846... . Esta expansão infinita, assim como a de 2 , são representações na notação decimal, que os gregos não conheciam. O número é também um número irracional como 2 , pois ambos representam expansões infinitas não-periódicas, mas o número é diferente, pertence ao grupo dos números que não satisfazem nenhuma equação algébrica, são os chamados números transcendentes. São números puros, constantes representando relações formais de grandezas matemáticas.
Convém esclarecer melhor por que é que uma expansão infinita periódica deve ser considerada como a representação de um número racional. Vejamos a fração 1/3 que é igual a 0,333 ... . Trata-se de uma dízima periódica, isto é, a representação decimal de um número inteiro, onde um ou mais algarismos repetem-se indefinidamente. É fácil de provar. Sabemos que 3x1/3 = 3/3 = 1 . Se em vez de 3x1/3 fizermos a mesma operação de multiplicação com 3x0,333 ... , temos 0,999 ... , ou seja, 1 = 0,999 ... , o que comprova que se trata de um número inteiro. Não devemos, portanto, confundir nas expressões decimais infinitas, as periódicas com as não-periódicas, visto que são representativas de diferentes classes de números.

Devido à sua extensão, julgo que o melhor é encerrar esta LIÇÃO, deixando para a próxima uma abordagem mais ampla da Teoria dos Números.

2007-05-16T08:13:00.000-07:00

LIÇÃO Nº 1

A matemática atual é diferente da do passado em dois aspectos fundamentais : a abstração e a generalização. Estes dois conceitos estão relacionados entre si, porquanto é a abstração que possibilita a generalização e é a generalização que fornece novos “campos” à abstração. Como os números são considerados a primeira manifestação daquilo que se convencionou chamar de matemática, podemos admitir que contar foi a primeira atividade intelectual envolvendo a abstração. Saber quantas “coisas” possuimos, é realizar a abstração de um objeto real criando o protótipo da sua representação, isto é, criando a unidade, o número 1 que permite contar. Para os matemáticos, no entanto, a abstração começou quando se substituiram os números por letras, ou seja, quando se deu o grande “salto” de abertura da álgebra. Pórem, os Gregos da Antigüidade Clássica tinham da abstração um significado muito especial. Para Platão, (427-347 a.C.), um dos grandes filósofos da civilização ocidental, as figuras geométricas eram formas eternas, inalteráveis e incorpóreas, que somente podiam ser apreendidas pelo intelecto. Regras como “os ângulos internos de um triângulo somam 180º” ou “em um triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais”, representavam para Platão, verdades absolutas, abstrações de um mundo observável, a verdadeira “realidade” do universo.
Vejamos um pouco mais o tema da abstração. Um ponto, por exemplo. Para vocês, provavelmente, um ponto nada mais é do que um pequeno sinal circular no papel. Pois bem, na geometria, um ponto é uma abstração, apesar da sua representação visual. Parece bem estranho, mas é isso mesmo. Desenhe um triângulo e trace, entre o vértice e a base, um segmento de reta paralelo à base. É sempre possível fazer corresponder um ponto do segmento de reta intermediário a um ponto da base, traçando uma reta ligando o vértice ao ponto escolhido e prolongando-a até atingir a base. Imagine agora que essa reta gire, tendo o vértice como centro de rotação, indo de um lado ou outro do triângulo, isto é, “varrendo” os dois segmentos de reta simultaneamente. A conclusão a que se chega, é que os dois segmentos de reta, intermediário e base, têm o mesmo número de pontos, apesar de terem comprimentos diferentes. Se considerarmos que uma linha reta, qualquer que seja, é uma seqüência ininterrupta de pontos, todos iguais, a conclusão é absurda. Só pode ser válida, se admitirmos que os pontos não têm dimensões, são adimensionais. Assim, pode-se dizer que o ponto como entidade geométrica é um conceito abstrato. O mesmo acontece com a linha reta. O cruzamento de duas linhas retas é um ponto, que sendo adimensional, faz com que as duas linhas retas não tenham largura, ou seja, a reta é também um conceito abstrato.
Passemos à segunda característica, a generalização, e vejamos o seu significado e o vínculo com a abstração. Para tratar deste assunto é preciso “filosofar” um pouco. Suponhamos que eu esteja pensando na minha cadeira, aquela onde todos os dias me sento para trabalhar. Não é uma cadeira qualquer, é aquela única que conheço em todos os seus detalhes. Tem, portanto, uma “presença” real e exclusiva no meu pensamento. Imaginemos agora o oposto. Estou fora de casa, cansado, e procuro uma cadeira para me sentar. Estou interessado em encontrar um móvel despojado de tudo, menos da sua função precípua, o de ser uma cadeira. O que procuro é um objeto de uma classe de objetos, isto é, um elemento de um conjunto cujo critério de classificação é o mais geral possível, pois trata-se da propriedade que o define na sua essência abstrata. É claro, um conjunto assim tão amplo, pode ser dividido em subconjuntos, se fizermos uma classificação adicional dos seus elementos. Quer dizer, podemos agregar ao seu significado novas propriedades, desde que não afetem a propriedade básica, a de ser uma cadeira. Formamos desta forma subconjuntos do conjunto primordial.
Vejamos um exemplo do que dissemos acima, mas agora da geometria. Consideremos um polígono, (do grego, polys, muitos, + gonos, ângulos), a figura plana formada por uma linha poligonal fechada, não cruzada, como sendo a figura principal. Trata-se de uma figura de n lados, onde n é um elemento do conjunto de números inteiros positivos, cujo menor valor é 3. Ou seja um triângulo. Observe que na definição do polígono, o que se especifica é o número de ângulos, enquanto que a definição do triângulo refere-se ao número de lados. Isto faz pensar que não existe nenhuma relação entre os dois enunciados, o que não é verdade. De fato, qualquer que seja o polígono, o número de ângulos é sempre igual ao número de lados e, sendo assim, as duas definições são equivalentes. Consideremos os polígonos regulares, isto é, os que têm lados iguais, e escolhemos o mais simples de todos, o triângulo eqüilátero. Tracemos as suas medianas, ou seja, os segmentos de reta que unem os vértices aos centros dos lados opostos. O ponto de cruzamento das medianas, é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo eqüilátero. Dividindo, sucessivamente, os lados ao meio e projetando os pontos da divisão na circunferência, pelas retas que unem esses pontos ao centro, os polígonos resultantes aproximam-se cada vez mais da circunferência, que é a figura limite quando o número de lados se torna infinito. No limite, os lados desaparecem e a figura resultante é um círculo. A duplicação dos lados a partir do triângulo eqüilátero, dá uma seqüência de números, onde a relação de qualquer um com o que o antecede, é sempre o número 2. Construir polígonos regulares subdividindo em partes iguais os seus lados, equivale a formar progressões geométricas, isto é, sucessões de números onde o quociente de dois termos consecutivos é uma constante denominada base ou módulo. Consideremos o conjunto dos números naturais, 1,2,3, ... Os três pontos que se seguem ao último número registado, significa que a seqüência prossegue indefinidamente. Suponhamos que seja n o termo geral da classe dos números naturais, isto é, aquele que representa qualquer número dessa classe. Além disso, apesar de não ser um número natural, vamos incorporar o zero, como aliás se faz na matemática moderna, o que explicarei em lição próxima. Temos então o seguinte conjunto 0, 1, 2, 3, ... , n, ... e com ele podemos montar a fórmula geral da progressão geométrica, do triângulo por exemplo. Portanto, o número 3 é o número inicial da progressão, seguido pelos múltiplos de 2, isto é, pelas potências de 2, formando o conjunto , o que dá a fórmula geral da progressão geométrica 3.. Os elementos da progressão obtêm-se substituindo o n do expoente por 0, 1, 2, 3, ... , 3., ... , levando em conta que é igual a 1. Assim, a progressão geométrica obtida a partir do triângulo é : , com os elementos colocados entre colchetes, por ser o sinal gráfico utilizado para completar a notação de um conjunto. Tudo isto é elementar, mas é preciso entender o objetivo de cada etapa para se compreender o significado final. O primeiro passo foi a abstração e a generalização, configurados no número n , o segundo passo a notação simbólica de potência, onde o expoente indica quantas vezes se repete a multiplicação da base por si mesmo. Observe que a notação de potência, permite mostrar que o produto de duas potências, que tenham a mesma base, é igual à base levantada à soma dos expoentes das duas potências. Esta notação é muito apreciada pelos matemáticos, que a consideram perfeita como representação.

No século V a.C., os Pitagóricos empenharam-se em descobrir todas as equivalências possíveis entre os elementos da geometria e os números inteiros. O grande número dessas correlações levou-os a afirmar que “tudo são números”. É realmente extraordinário que, há 2.500 anos, um pequeno grupo de “pesquisadores”, digamos assim, tenha chegado a essa conclusão, quando ainda nada se sabia sobre a natureza do mundo. Somente a partir do século XIX é que se começou a ter consciência da importância dos números e o papel que eles representam no conhecimento matemático.
Encerro assim esta LIÇÃO e despeço-me até à próxima.

2007-05-13T06:47:00.000-07:00

BEM-VINDOS ao site mathmodern.blogspot.com, um BLOG dedicado à MATEMÁTICA e dirigido aos estudantes do ensino médio e superior interessados em conhecer e entender a MATEMÁTICA MODERNA. Este que vos fala é The Mathman, o codinome do responsável pela publicação.
As matérias serão apresentadas numa seqüência de LIÇÕES, devidamente numeradas, a um ritmo que espero manter, de uma lição a cada quinze dias. Não se trata de nenhum programa didático ou de cursinho, ou qualquer outro destinado às escolas públicas ou privadas. As LIÇÕES não obedecem a nenhum curso preestabelecido de matemática. O meu objetivo é o de discorrer livremente sobre matemática moderna.
Pode ser que algum de vocês esteja pensando ; “Afinal, o que é isso de matemática moderna ? Sempre pensei que a matemática fosse uma só ! ”. Tem razão, a matemática é realmente uma só, mas teve uma profunda reformulação nas suas concepções básicas com a introdução da Teoria dos Conjuntos, do matemático alemão Georg Cantor, (1845-1918). Na Europa, o ensino da matemática nas escolas públicas, adotou a partir de 1950, a nova linguagem da Teoria dos Conjuntos, provocando um impacto negativo tão grande, que obrigou os responsáveis a rever toda a matéria escolar para adequá-la à nova situação,
A nova matemática, que passou a ser chamada de matemática moderna, não é tão recente quanto o seu nome faz supor. Em 1906 – há 101 anos portanto – Felix Klein, (1849-1925), renomado matemático alemão, protestou com veemência contra o caos instalado nas escolas públicas, pleiteando a renovação dos métodos de ensino. Vejamos o que ele disse no seu livro Elementary Mathematics from na Advanced Standpoint – Arithmetic, Álgebra, Analysis, Ed. Dover Publications, Inc., N.Y., 2004 ; “Nos anos recentes, (repito, foi escrito em 1906), surgiu entre os professores universitários de matemática e de ciência natural, um interesse cada vez maior por um treinamento adequado dos candidatos a altos postos de ensino. Isto realmente é um fenômeno novo. Anteriormente e durante muito tempo, os professores universitários estavam preocupados exclusivamente com as suas ciências, sem nunca pensar no necessário para o ensino secundário, nem sequer o de cuidar em estabelecer uma conexão com a matemática escolar. Qual foi o resultado dessa prática ? O jovem estudante universitário defronta-se, logo de início, com problemas que não lhe sugerem em nada aquilo que aprendeu até então e, naturalmente, esquece tudo isso rápida e completamente. Terminado o curso torna-se professor e de repente, vê-se na expectativa de ter que ensinar a matemática elementar tradicional, na velha maneira pedante. Sendo realmente incapaz e como ninguém o ajuda a discernir uma conexão entre a sua tarefa e a matemática universitária, renuncia à nobre missão de ensinar, restando dos estudos universitários, apenas lembranças mais ou menos agradáveis, sem nenhuma influência naquilo que ensina”.
Julgo suficiente este comentário de Felix Klein, para vocês reconhecerem que a nossa atual situação de ensino da matemática é, em tudo, semelhante à que ele repudiou há 101 anos. Como se explica a profunda decadência do ensino da matemática ? A classe académica, salvo as excepções de praxe, vive há muito tempo mergulhada em um clima de ignorância e preconceito, que bloqueia toda tentativa de mudança nos seus métodos de ensino. Para não correr o risco de falhar na inclusão dos novos conceitos, adotou-se a medida fácil de juntar tudo no mesmo “pacote”, sem a menor preocupação quanto ao impacto que essa decisão causaria nos métodos de ensino. O resultado está aí para quem quiser ver, no registro das estatísticas do baixissimo aproveitamento dos alunos.

Quero agora chamar a vossa atenção para algumas características fundamentais da matemática, que devem ser levadas em conta neste vosso aprendizado. Um aspecto particular da matemática, sem dúvida revelador da sua natureza, refere-se às suas teorias, que uma vez corretamente formuladas, nunca se tornam obsoletas. Por isso, no seu ensino, é inevitável ter que se citar todos aqueles que desde a Antigüidade contribuiram para a sua evolução. Os teoremas de Pitágoras e de Euclides, por exemplo, continuam hoje tão atuais como quando foram enunciados há mais de 2.000 anos, tendo presença obrigatória no ensino da matemática. É importante ter consciência da continuidade histórica, por isso, quando se faz referência, pela primeira vez, a um autor, indica-se sempre, após o nome, o ano do seu nascimento e o da sua morte. Não só dos matemáticos, mas também dos filósofos, cuja participação foi fundamental, principalmente no que diz respeito à lógica matemática. Pitágoras (c. 500 a.C.) e Euclides (c. 300 a.C.) são exemplos desse detalhe, onde c. significa “cerca de” e 500 e 300 o número de anos “antes de Cristo”, a.C. abreviatura de “ante Christum” em latim. Outras abreviaturas históricas surgem também na linguagem matemática, como QED do latim “Quod erat demonstrandum”, significando “como ficou demonstrado”, utilizado no final de uma demonstração para marcar o seu encerramento. No século III a.C., Euclides já usava este fecho, mas, é óbvio, no seu equivalente em grego. Hindús e arabes também contribuiram para a matemática e palavras como algarismo, álgebra, algoritmo são de origem árabe. O que se recomenda aos interessados é que procurem ter um mínimo de conhecimento histórico, pois isso enriquece a cultura geral e esclarece o aprendizado.
Outra questão que afeta o ensino da matemática é a sua linguagem, porquanto é preciso expressar todas as proposições com precisão absoluta, livres de ambigüidades, contradições, ou qualquer tipo de insuficiência. O significado dos “termos” tem de ser universal, sem se sujeitar a interpretações ou subjetividades, por isso a linguagem é formada por símbolos que correspondem a propriedades, sem que ocorram exceções. É uma linguagem concentrada ao extremo, despojada de tudo que possa ser supérfluo, onde todos os símbolos se combinam para expressar as estruturas. É um meio de comunicação feito exclusivamente para ser escrito e lido, não para ser falado. O que falamos correntemente qualquer que seja a língua, não serve para a matemática, por estar sujeito a inúmeras composições e interpretações. Mas para se aprender a simbologia formal da matemática, não existe outra maneira senão a de recorrer à nossa fala habitual das palavras do nosso dia-a-dia, tentando transmitir, informalmente, a “idéia” que reside embutida na roupagem formal. O que acontece no nosso ensino da matemática, é que se “empurra” para cima do aluno toda a simbologia formal, transformando a “ferramenta” criada para facilitar o seu aprendizado, em uma barreira intransponível. No decorrer das lições este tema voltará a ser tratado.

O sucesso deste BLOG depende do interesse e divulgação dos seus leitores. Só terá sentido se não desistirem diante das dificuldades e se os leitores forem em número razoável. Tenho plena consciência das dificuldades que vou enfrentar, pois ensinar matemática nunca foi uma tarefa fácil. Conta-se que Menaechmus, (375-325 a.C.), discípulo de Platão, solicitado por Alexandre o Grande, de quem era tutor, a lhe dar lições fáceis, respondeu : “Em geometria não existe estrada de reis”. Ninguém conhece a matemática toda, tão ampla e diversificada ela é, mas há nela uma lógica, uma “maneira de ser”, que faz com que o matemático se sinta sempre “em casa”. Este é o meu objetivo em relação a vocês.
É só o que tenho a dizer nesta apresentação. Despeço-me até à próxima LIÇÃO.